Question

15．已知圆C：x²+y²+2x-3=0．
（1）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，交圆C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，求证：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$为定值；
（2）斜率为1的直线m交圆C于D、E两点，求使得△CDE的面积最大的直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设经过坐标原点且不与y轴重合的直线l的方程为y=kx，联立直线与圆的方程，进而结合韦达定理，可得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$为定值
（2）设斜率为1的直线m：x-y+C=0与圆C相交于D，E两点，令圆心C（-1，0）到直线l的距离为d，利用基本不等式，可得当且仅当d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$时，△CDE的面积最大，代入点到直线距离公式，可得C值，进而得到直线方程．

解答 证明：（1）设经过坐标原点且不与y轴重合的直线l的方程为y=kx，
由直线l与圆C相交A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}+2x-3=0}\\{y=kx}\end{array}\right.$，可得：（k²+1）x²+2x-3=0，
则x₁+x₂=-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{-\frac{2}{{k}^{2}+1}}{-\frac{3}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$为定值$\frac{2}{3}$，
（2）设斜率为1的直线m：x-y+C=0与圆C相交于D，E两点，
令圆心C（-1，0）到直线l的距离为d，
则DE=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{4{-d}^{2}}$，
△CDE的面积S=$\frac{1}{2}$DE•d=$\sqrt{4{-d}^{2}}$•d=$\sqrt{{d}^{2}（4{-d}^{2}）}$≤$\frac{{d}^{2}+4{-d}^{2}}{2}$=2，
当且仅当d²=4-d²，即d=$\sqrt{2}$时，成立，
此时：d=$\frac{|C-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得：C=3，或C=-1，
故直线m的方程为x-y+3=0，或x-y-1=0．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般方程，基本不等式，点到直线的距离公式，是不等式与解析几何的简单综合应用，难度中档．