Question

20．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）x≥$\frac{3}{2}$时，2x-1+2x-3≤4，解得：x≤2，
$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，2x-1+3-2x=2≤4成立，
x≤$\frac{1}{2}$时，1-2x+3-2x≤4，解得：x≥0，
综上，不等式的解集是[0，2]；
（2）∵|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
当且仅当（2x-1）（2x-3）≤0即$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$时“=“成立，
故|a-1|＞2，解得：a＜-1或a＞3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．