Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，过其右焦点F作直线l与双曲线的右支交于点A、B，求FA•FB的最小值．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，可得右焦点F的坐标，设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入双曲线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，结合正弦函数的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
直线l过右焦点F（$\sqrt{5}$，0），
设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入双曲线的方程，化为t²（cos²α-4sin²α）+2$\sqrt{5}$tcosα+1=0，
由题意可得t₁t₂=$\frac{1}{co{s}^{2}α-4si{n}^{2}α}$＜0，
即有cos²α-4sin²α＜0，即sin²α＞$\frac{1}{5}$，
则FA•FB=|t₁t₂|=$\frac{1}{|1-5si{n}^{2}α|}$，
当sinα=1时，|1-5sin²α|取得最大值4，
即有FA•FB取得最小值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，注意运用直线的参数方程中的参数几何意义，考查韦达定理和运算能力，属于中档题．