Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{2}{5}$AA₁，D是棱AA₁上的点，且AD=$\frac{1}{4}$DA₁．
（1）证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

分析 （1）由BC⊥CC₁，BC⊥AC可知BC⊥平面ACC₁A₁，故而BC⊥DC₁，根据线段的比值关系可知△A₁DC₁～△ADC，于是DC₁⊥DC，故而DC₁⊥平面BCD，于是平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）设AA₁=h，求出四棱锥B-ACC₁D和三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，得出另一部分的体积，从而计算出两部分的体积比．

解答 解：（1）∵BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁?平面ACC₁A，
∴DC₁⊥BC．
∵AD=$\frac{1}{4}D{A}_{1}=\frac{1}{5}A{A}_{1}$，∴A₁D=$\frac{4}{5}A{A}_{1}$，AC=A₁C₁=$\frac{2}{5}A{A}_{1}$，
∴$\frac{AD}{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{AC}{{A}_{1}D}=\frac{1}{2}$，又∠DAC=∠DA₁C₁=90°，
∴△A₁DC₁～△ADC，∴∠A₁DC₁=∠ACD，
∴∠A₁DC₁+∠ADC=90°，∴DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，DC?平面BDC，BC?平面BDC，
∴DC₁⊥平面BDC，∵DC₁?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥面BDC．
（2）设AA₁=h，则AD=$\frac{1}{5}h$，AC=BC=$\frac{2}{5}h$，
∴V${\;}_{B-AC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形AC{C}_{1}D}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}h+h）×\frac{2}{5}h×\frac{2}{5}h$=$\frac{4{h}^{3}}{125}$，
V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•h=$\frac{1}{2}×\frac{2}{5}h×\frac{2}{5}h×h$=$\frac{2{h}^{3}}{25}$．
∴V${\;}_{多面体BD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V${\;}_{B-AC{C}_{1}D}$=$\frac{6{h}^{3}}{125}$．
所以平面BDC₁分此棱柱的体积比为3：2或2：3．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，几何体的体积计算，属于中档题．