Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cos$\frac{x}{2}$+2），函数f（x）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）在 x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]的单调减区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{3}$，π]时，若f（x）=2，求cos$\frac{x}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数求解函数的单调减区间即可．
（2）利用函数值求出$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）$，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．

解答 解：（1）由题向量$\overrightarrow{a}$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cos$\frac{x}{2}$+2），
函数f（x）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1）•（1，cos$\frac{x}{2}$+2）=$\frac{3}{2}$（$-\sqrt{3}$$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}+2$）=$-3sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+3$
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z得$4kπ-\frac{2π}{3}≤x≤4kπ+\frac{4π}{3}$，
因为x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]，所以当k=0时，x∈$[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
即f（x）在x∈[-π，$\frac{5π}{3}$]的单调减区间为$[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$．
（2）由f（x）=2，得$sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
因为$x∈[\frac{π}{3}，π]$，知$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[0，\frac{π}{3}]$，
所以$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以cos$\frac{x}{2}$=$cos[（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}=\frac{2\sqrt{6-1}}{6}$．

点评 本题考查向量的综合应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，考查计算能力．