Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，对角线AC，BD交与点M，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，点N为棱PC上一动点．
（Ⅰ）证明：AC⊥ND；
（Ⅱ）若MN∥平面ABP，求三棱锥N-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据底面的图形，线段长度判断AC⊥CD，利用PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
转化PD⊥AC，得出AC⊥面PCD，利用直线平面垂直问题的转化即可得证．
（2）根据平面图形运用相似三角形得出DK=BK，GK=CK，MK=MB，$\frac{CM}{MA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{MD}{MB}$=2，
把MN∥平面ABP，转化得出MN∥AP，PD∥NW，NW=$\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，求解底面积，高即可求解体积．
关键是判断N点的位置．

解答 证明（1）∵底面四边形ABCD为直角梯形，对角线AC，BD交与点M，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$，
∵AD=2，
∴根据勾股定理得出AC⊥CD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵CD∩PD=D，
∴AC⊥面PCD，
∵ND?平面PCD，点N为棱PC上一动点．
∴AC⊥ND；
解：（2）∵梯形ABCD中：BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，
取AD中点G，连接如图：
∴DK=BK，GK=CK，MK=MB，$\frac{CM}{MA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{MD}{MB}$=2
∵MN∥平面ABP，
∴MN∥AP，
∴$\frac{CM}{MA}$=$\frac{CN}{NP}$=$\frac{1}{2}$，

作NW⊥面ABCD，垂足在CD上，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD∥NW，

可得$\frac{NW}{PD}$=$\frac{1}{3}$
即NW=$\frac{1}{3}×2$=$\frac{2}{3}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×$AD×1=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴棱锥N-ACD的体积=$\frac{1}{3}×1×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$

点评 本题综合考查了空间直线在几何体中点位置关系，探索点的位置，把立体问题转化为平面问题求解，运用好平行分线段成比例的知识，属于难题．