Question

18．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{b}$|=1
• B． $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1
• D． （4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 由题意，知道$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$，根据已知三角形为等边三角形解之．

解答 解：因为已知三角形ABC的等边三角形，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{b}$的方向应该为$\overrightarrow{BC}$的方向．
所以$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$，
所以$|\overrightarrow{b}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，
4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×1×2×cos120°=-4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，所以$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，即（4$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=0，即$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{BC}$=0，所以$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{BC}$；
故选D．

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．