Question

3．如图所示，在多面体A₁B₁D₁DCBA中，四边形AA₁B₁B，ADD₁A₁，ABCD均为正方形，E为B₁D₁的中点，过A₁，D，E的平面交CD₁于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B₁C；
（Ⅱ）求二面角E-A₁D-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过四边形A₁B₁CD为平行四边形，可得B₁C∥A₁D，利用线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，设边长为2，则所求值即为平面A₁B₁CD的一个法向量与平面A₁EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵B₁C=A₁D且A₁B₁=CD，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，
∴B₁C∥A₁D，
又∵B₁C?平面A₁EFD，
∴B₁C∥平面A₁EFD，
又∵平面A₁EFD∩平面B₁CD₁=EF，
∴EF∥B₁C；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，设边长为2，
∵AD₁⊥平面A₁B₁CD，∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2）为平面A₁B₁CD的一个法向量，
设平面A₁EFD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2y-2z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角E-A₁D-B₁的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．