Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥平面ABC，D为棱A₁B₁上的动点，E为AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB．
（1）设$\frac{{{A_1}D}}{{D{B_1}}}$=λ，当λ为何值时，EF∥平面BC₁D；
（2）在（1）条件下，求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明EF∥BD，然后通过EF∥平面BC₁D，求出λ；
（2）取AB中点M，以M为原点，以CM方向为x轴，以AB方向为y轴，以MD方向为z轴，建立如图所示坐标系．求出平面EBC₁的法向量，平面DBC₁的法向量，然后利用向量的数量积求解二面角E-BC₁-D的余弦值．

解答 解：（1）证明：$\left.\begin{array}{l}EF∥平面B{C_1}D\\ EF?平面AB{B_1}{A_1}\\ 平面B{C_1}D∩平面AB{B_1}{A_1}=BD\end{array}\right\}⇒EF∥BD$，
则$\frac{{D{B_1}}}{{B{B_1}}}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$，即$λ=\frac{{{A_1}D}}{{D{B_1}}}=1$．（6分）
（2）取AB中点M，可知CM⊥AB，DM⊥平面ABC．
以M为原点，以CM方向为x轴，以AB方向为y轴，以MD方向为z轴，建立如图所示坐标系．E（0，-1，1），B（0，1，0），D（0，0，2），${C_1}（-\sqrt{3}，0，2）$
平面EBC₁中，$\overrightarrow{EB}=（0，2，-1）$，$\overrightarrow{E{C_1}}=（-\sqrt{3}，1，1）$，$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，2）$
平面DBC₁中，$\overrightarrow{DB}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{D{C_1}}=（-\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{n_2}=（0，2，1）$$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4}{{\sqrt{8}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
即二面角E-BC₁-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（12分）

点评 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．