Question

8．已知点F（1，0），点P为平面上的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为H，且$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线与轨迹C交于点A，B两点，在A，B处分别作轨迹C的切线交于点N，求证：k_NF•k_AB为定值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则H（-1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程．
（2）证明：设点M（x₀，y₀）（x₀≠0）为轨迹C上一点，直线m：y=k₀（x-x₀）+y₀为轨迹C的切线，联立在与椭圆方程，利用判别式求出其判别式，求出${k_0}=\frac{2}{y_0}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-1），直线与抛物线方程，利用韦达定理求解斜率乘积即可．

解答 解：（1）设P（x，y），则H（-1，y），有$\overrightarrow{HP}=（x+1，0），\overrightarrow{HF}=（2，-y），\overrightarrow{FP}=（x-1，y），\overrightarrow{FH}=（-2，y）$，
从而由题意$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
得动点P的轨迹C的方程y²=4x．（4分）
（2）证明：设点M（x₀，y₀）（x₀≠0）为轨迹C上一点，
直线m：y=k₀（x-x₀）+y₀为轨迹C的切线，有$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y={k_0}（x-{x_0}）+{y_0}}\end{array}}\right.$，消去x得，${k_0}{y^2}-4y-4{k_0}{x_0}+{y_0}=0$，
其判别式△=16-4k₀（-4k₀x₀+4y₀）=0，解得${k_0}=\frac{2}{y_0}$，有$m：y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$*
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-1），联立有$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，
消去x得，ky²-4y-4k=0，有${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，y₁•y₂=-4
根据*式有$NA：y=\frac{2}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，$NB：y=\frac{2}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，解得$N（-1，\frac{2}{k}）$，
从而${k_{NF}}•{k_{AB}}=\frac{{0-\frac{2}{k}}}{1+1}•k=-1$，为定值．（12分）

点评 本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．