Question

11．在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的值域求出最大值．

解答 解：∵BC边上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}=\frac{1}{2}bcsinA$，
∴sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，又cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}（\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-\frac{{a}^{2}}{bc}）$，
∴$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$=2cosA+sinA=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosA+sinA）=sin（α+A）≤$\sqrt{5}$，（其中sinα$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的最大值$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．