Question

4．已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，求相邻两侧面所成角的余弦值．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，找出侧棱与底面所成的角以及相邻两侧面所成的二面角的平面角，
利用三角形中的边角关系以及余弦定理，求出这个二面角的平面角的余弦值．

解答 解：正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，如图所示；
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO并延长，交BC于点N，则AN⊥BC，∠PAO=45°；
过点B作BM⊥PA，垂足为M，连接CM，
则CM⊥PA，且CM=BM；
∴∠BMC是二面角B-PA-C的平面角；
设AB=a，PA=b，AM=x，则PM=b-x；
在△ABC中，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，∴AO=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
在Rt△PAO中，PO=AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴PA=$\sqrt{2}$PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=b；
在△PAB中，BM⊥PA，
∴BM²=AB²-AM²=PB²-PM²，
即a²-x²=b²-（b-x）²，
∴x=$\frac{{a}^{2}}{2b}$，
∴BM²=a²-x²=a²-$\frac{{a}^{4}}{{4b}^{2}}$=a²-$\frac{{a}^{4}}{4{×（\frac{\sqrt{6}}{3}a）}^{2}}$=$\frac{5}{8}$a²；
在△BCM中，cos∠BMC=$\frac{{BM}^{2}{+CM}^{2}{-BC}^{2}}{2•BM•CM}$=$\frac{2×{\frac{5}{8}a}^{2}{-a}^{2}}{2×{\frac{5}{8}a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴该三棱锥相邻两侧面所成角的余弦值是$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了空间中的垂直关系以及三角形的边角关系的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是综合性题目．