Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足5a²=c²+b²，BE与CF分别为边AC、AB上的中线，则BE与CF夹角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：设BE、CF的交点为O，连接EF，则O点为△ABC的重心，有EF=

a

2

，OE=

BE

3

，OF=

CF

3

，可得BE²=

1

4

（2a²+2c²-b²），CF²=

1

4

（2a²+2b²-c²），可求得OE²+OF²=EF²从而可得OE⊥OF，即可得BE与CF夹角的余弦值．

解答： 解：设BE、CF的交点为O，连接EF，则O点为△ABC的重心，
∴EF=

a

2

，OE=

BE

3

，OF=

CF

3

，
根据中线定理可知：
BE²=

1

4

（2a²+2c²-b²），
CF²=

1

4

（2a²+2b²-c²），
所以OE²+OF²=（

BE

3

）²+（

CF

3

）²=

1

36

（2a²+2c²-b²）+

1

36

（2a²+2b²-c²）=

1

36

（4a²+b²+c²）=

1

36

（4a²+5a²）=

1

4

a²=EF²
所以OE⊥OF，
即BE⊥CF，
所以BE与CF夹角的余弦值为0．
故答案为：0．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．