Question

若函数y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P处的切线平行于函数y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q处的切线，则直线PQ的斜率为（　　）

• A、

  8

  3

• B、2
• C、

  7

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：分别设出P，Q的坐标，利用导数求出两函数在P，Q的导数，由三角函数的有界性及基本不等式求最值得到使两切线平行时的斜率，进一步求得P，Q的坐标，然后利用两点求斜率得答案．

解答： 解：由y₁=2sinx（x∈[0，2π）），得y1′=2cosx，
设P（x₁，sinx₁），
则y1′|x=x1=2cosx1，
∵x₁∈[0，2π），
∴2cosx₁∈[-2，2]．
由y₂=2

x

（

x

3

+1），得
y2′=(2

x

)′(

x

3

+1)+(2

x

)(

x

3

+1)′=

1

x

(

x

3

+1)+

2

3

x

=

x

+

1

x

．
设Q（x2，2

x2

(

x2

3

+1)）
则y2′|x=x2=

x2

+

1

x2

≥2．
∵函数y₁=2sinx（x∈[0，2π））在P处的切线平行于函数y₂=2

x

（

x

3

+1）在Q处的切线，
∴2cosx₁=2，解得x₁=0，P（0，0）．

x2

+

1

x2

=2，解得：x₂=1，Q（1，

8

3

）．
∴kPQ=

8 3 -0

1-0

=

8

3

．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数的最值，训练了利用直线上两点的坐标求直线的斜率，是中档题．