Question

如图，在底面积边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）若m=1，求异面直线AP与BD₁所成的余弦值；
（2）是否存在实数m，使直线AP与平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出向量

AP

，

BD1

的坐标，利用向量的夹角公式求出夹角，从而求出异面直线AE与BD₁所成角的余弦值．
（2）假设存在，得到直线AP与平面AB₁D₁的法向量夹角的余弦值的绝对值是

2 2

3

，找出法向量与向量AP，计算数量积解m．

解答： 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2）
∴

AP

=（-1，1，1），

BD1

=（-1，-1，2）
∴

AP

•

BD1

=2，又AP=

3

，BD₁=

6

∴cos＜

AP

，

BD1

＞=

AP • BD1

| AP || BD1 |

=

2

3 × 6

=

2

3

，
∴异面直线AE与BD₁所成角的余弦值等于

2

3

；
（2）假设存在实数m，使直线AP与平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

，则直线AP与平面AB₁D₁的法向量夹角的余弦值的绝对值是

2 2

3

，
则A（1，0，0），P（0，1，m），B₁（1，1，2），D₁（0，0，2），
∴

AP

=（-1，1，m），

AB1

=（0，1，2），

B1D1

=（-1，-1，0），
设平面AB₁D₁的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB1 =0 n • B1D1 =0

，所以

y+2z=0 x+y=0

，
令z=1，则一个法向量

n

=（2，-2，1），
|cos＜

AP

，

n

＞|=|

AP • n

| AP || n |

|=|

-4+m

3 2+m2

|=

2 2

3

，解得m=0或m=

8

7

，满足m∈[0，2]，
所以存在实数m=0或者m=

8

7

，使直线AP与平面AB₁D₁所成的正弦值是

1

3

．

点评：本题考查了四棱柱中异面直线所成的角和线面角，本题借助于空间向量的数量积解答，注意适当建立坐标系，正确找出所需向量的坐标．