Question

设a＞0，b＞0，c＞0，a²+b²=c²，求证：n≥3（n∈N⁺）时，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：依题意，a²＜c²，b²＜c²，

c

a

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），利用指数函数的单调性即可证得n≥3（n∈N⁺）时，
aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

解答： 证明：∵a、b、c∈R⁺，a²+b²=c²，
∴（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
∴

a

c

∈（0，1），

b

c

∈（0，1），
∵y=（

a

c

）^x与y=（

b

c

）^x均为减函数，
∴当n≥3（n∈N⁺）时（

a

c

）ⁿ＜（

a

c

）²，（

b

c

）ⁿ＜（

b

c

）²；
∴当n≥3（n∈N⁺）时（

a

c

）ⁿ+（

b

c

）ⁿ＜（

a

c

）²+（

b

c

）²=1，
即n≥3（n∈N⁺）时，aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

点评：本题考查不等式证明，突出考查指数函数的单调性和运用，考查转化思想与推理分析的能力，属于中档题．