(Ⅰ)由
得
(1)当
时,
(i)若
,当
时,
恒成立,
所以函数
的单调递减区间是
.
(ii)若
,当
时,
,函数
单调递减,
当
时,
,函数
单调递增.
所以
的单调递减区间是
,单调递增区间是
(2)当
时,令
得
,
由
得
显然
当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数
单调递增.
所以函数
的单调递减区间是
,
单调递增区间是
.
(Ⅱ)由题意知函数
在
处取得最小值,
由(I)知
是
的唯一极小值点,
故
,整理得
,
令
则
由
得
当
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减.
因此
故
,即
即
【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较,考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数
的单调区间判断必然通过导数方法来解决,伴随而来的是关于
的分类讨论.比较
与
的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备,构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征,必然按照程序化运行,即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材,如隐含条件的发现、新函数的构造等,都为解决问题提供了有力支持.