Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若两条互相垂直的直线都经过原点（两条直线与坐标轴都不重合）且与曲线分别交于点（异于原点），且，求这两条直线的直角坐标方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）与.

【解析】

（1）根据直角坐标与极坐标的转化，两边同时乘以，即可化简为曲线的直角坐标方程。

（2）设出其中一条直线的倾斜角，利用极坐标表示出直线的极坐标方程，进而表示出另外一个直线的极坐标方程，分别代入C的极坐标方程，可求得，进而利用三角函数的最值求得倾斜角，进而得到直线方程。

（1）因为，所以，

所以，

故曲线的直角坐标方程为.

（2）不妨设其中一条直线的倾斜角为，则该直线的极坐标方程为，

则另一条直线的极坐标方程为.

将代入曲线的极坐标方程得，

将代入曲线的极坐标方程得，

则，所以，，

故这两条直线的直角坐标方程分别为与.