Question

若f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：
①f（2）=0；  
②f（x）是以4为周期的函数；
③f（x+2）=f（-x）； 
④f（x）的图象关于直线x=0对称；
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和周期性的性质分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：①令x=2，则f（0）=-f（2），则f（2）=-f（0），
∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（0）=0，则f（2）=-f（0）=0，故①正确．
②∵定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x-2）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数的周期的定义可以得到：函数f（x）的周期T=4，故②正确；
③②∵定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x-2）=-f（x），则f（x）=-f（x+2），
即f（x+2）=-f（x），故③正确．
④∵f（x-2）=-f（x）=f（-x），
∴函数关于x=-1对称，故④错误．
综上正确的命题时①②③，
故答案为：①②③．

点评：此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，综合考查了函数的性质．