Question

曲线y=2sin（2x+

π

4

）cos（2x+

π

4

）与直线y=

1

2

在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂₁P₂₂|+|P₂₄P₂₅|=

 

．（|P_iP_j|（i，j∈N^*）表示P_i与P_j两点间的距离）．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角公式、三角函数方程、曲线的交点坐标即可得出．

解答： 解：曲线y=2sin（2x+

π

4

）cos（2x+

π

4

）=sin(4x+

π

2

)=cos4x．
由cos4x=

1

2

，可得4x=2kπ±

π

3

，解得x=

kπ

2

±

π

12

，
令k=11，则|P₂₁P₂₂|=

11π

2

+

π

12

-(

11π

2

-

π

12

)=

π

6

．
令k=12，可得P₂₄=

12π

2

+

π

12

；
令k=13，可得P₂₅═

13π

2

-

π

12

，
∴|P₂₄P₂₅|=(

13π

2

-

π

12

)-(

12π

2

+

π

12

)=

π

2

-

π

6

．
则|P₂₁P₂₂|+|P₂₄P₂₅|=

π

6

+(

π

2

-

π

6

)=

π

2

．
故答案为：

π

2

．

点评：本题考查了二倍角公式、三角函数方程、曲线的交点坐标，属于基础题．