Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在其左准线上存在点M，使线段MF₂的中垂线过点F₁，则椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出左准线方程，连接MF₁，则由线段MF₂的中垂线过点F₁，可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，又|MF₁|≥（-c）-（-

a2

c

），再由离心率公式及范围，即可得到．

解答： 解：左准线方程为：x=-

a2

c

，
连接MF₁，则由线段MF₂的中垂线过点F₁，
可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
又|MF₁|≥（-c）-（-

a2

c

），
即有3c≥

a2

c

，即

3

c≥a，
则e=

c

a

≥

3

3

，又0＜e＜1，
则

3

3

≤e＜1．
故答案为：[

3

3

，1)．

点评：本题考查椭圆的性质的应用，要牢记椭圆的有关参数，如a、b、c之间的关系和准线方程、离心率等．