Question

深圳科学高中大约共有600台空调，空调运行所释放的氟里昂会破坏大气上层的臭氧层．假设臭氧层含量W呈指数型函数变化，满足关系W=W0e-0.02t，其中W₀是臭氧的初始量．（参考数据 e-0.6932=

1

2

）
（1）判断函数W=W0e-0.02t的单调性，并用定义证明．
（2）多少年后将会有一半的臭氧消失？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的单调性的定义，即可证明；
（2）一半的臭氧消失时，W=

1

2

W0，即可得出结论．

解答： 解：（1）函数W=W0e-0.02t的定义域为[0，+∞），在[0，+∞）上为减函数．…（2分）
证明：对任意的t₁，t₂∈[0，+∞）且t₁＜t₂，有      …（3分）

W1

W2

=

W0e-0.02t1

W0e-0.02t2

=(e-0.02)t1-t2．…（5分）
又t₂＞t₁≥0，所以t₁-t₂＜0，
又0＜e^-0.02＜1，所以(e-0.02)t1-t2＞1，即W₁＞W₂．…（7分）
所以，函数W=W0e-0.02t在[0，+∞）上为减函数．…（8分）
（2）一半的臭氧消失时，W=

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2

W0，所以                 …（9分）
W=W0e-0.02t=

1

2

W0，e-0.02t=

1

2

=e-0.06932，
解得，t=34.66．…（11分）
即34.66年后，将会有一半的臭氧消失．…（12分）

点评：本题考查函数的选择与应用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．