Question

【题目】两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的 中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，

其中当 时，y=0.065，

所以k=9

所以y表示成x的函数为

（2）解： ， ，

令y'=0得18x4=8（400﹣x2）2，

所以x2=160，即 ，

当 时，18x4＜8（400﹣x2）2，即y'＜0所以函数为单调减函数，

当 时，18x4＞8（400﹣x2）2，即y'＞0所以函数为单调增函数．

所以当 时，即当C点到城A的距离为 时，函数 有最小值

【解析】（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2 ， 再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．（2）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．