Question

7．已知a+b+c=0，求a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）+3的值．

Answer 1

分析 a+b+c=0，可得：a³+b³+c³=（a+b）³+c³-3ab（a+b）=3abc．代入化简即可得出．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴a³+b³+c³=（a+b）³+c³-3ab（a+b）=-c³+c³-3ab（a+b）=3abc．
∴a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）+3=$\frac{a（b+c）}{bc}$+$\frac{b（a+c）}{bc}$+$\frac{c（a+b）}{ab}$+3=$\frac{-{a}^{3}-{b}^{3}-{c}^{3}}{abc}$+3=$\frac{-3abc}{abc}$+3=0．

点评 本题考查了代数式的化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．