Question

20．在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且AE：EB=AF：FC=1：2，P为EF上任一点，实数x、y满足$\overrightarrow{PA}$+x$\overrightarrow{PB}$+y$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，设△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S₁、S₂、S₃，记$\frac{{S}_{1}}{S}$=λ₁，$\frac{{S}_{2}}{S}$=λ₂，$\frac{{S}_{3}}{S}$=λ₃，则当λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得EF平行且等于$\frac{1}{3}$BC，可得 λ₁=$\frac{2}{3}$，λ₂+λ₃=$\frac{1}{3}$，利用基本不等式求得λ₂•λ₃取得组大值时λ₂=λ₃=$\frac{1}{6}$，且P为EF的中点，$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）．由已知$\overrightarrow{PA}$=-x$\overrightarrow{PB}$+（-y）$\overrightarrow{PC}$，求得x和y的值，可得2x+y的值．

解答 解：∵△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S₁、S₂、S₃，
$\frac{{S}_{1}}{S}$=λ₁，$\frac{{S}_{2}}{S}$=λ₂，$\frac{{S}_{3}}{S}$=λ₃，∴λ₁+λ₂+λ₃=1．
∵E、F分别为AB、AC上的点，且AE：EB=AF：FC=1：2，可得E、F分别为 AB、AC的一个三等分点，
且EF平行且等于$\frac{1}{3}$BC，
P为EF上任一点，∴λ₁=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•\frac{2}{3}h}{\frac{1}{2}•BC•h}$=$\frac{2}{3}$，∴λ₂+λ₃=$\frac{1}{3}$≥2$\sqrt{{λ}_{2}{•λ}_{3}}$，
∴λ₂•λ₃≤$\frac{1}{36}$，当且仅当λ₂=λ₃=$\frac{1}{6}$时，取等号，此时，P为EF的中点，
$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{2}$•[$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）]=-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$ ）．
由已知$\overrightarrow{PA}$+x$\overrightarrow{PB}$+y$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{PA}$=-x$\overrightarrow{PB}$+（-y）$\overrightarrow{PC}$，故有x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{4}$，∴2x+y=$\frac{3}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查向量在几何中的应用，综合性强，难度大，是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意转化思想的合理运用，属于中档题．