Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足 = + ．
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0， ]，f（x）= +（2m+ ）| |+m2的最小值为5，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ =

∴ ∥ ，

又 与 有公共点A，故A、B、C三点共线

（2）解：∵ ， ，

∴ = ， ，

故 ， ，（x∈[0， ]）．

从而

=

=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2

=﹣sin2x+（2m+1）sinx+2+m2

= + ，

关于sinx的二次函数的对称轴为 ，

∵ ，∴sinx∈[0，1]，又区间[0，1]的中点为 ．

①当 ，即m≤0时，当sinx=1时， ．

由f（x）min=5得m=﹣3或m=1，又m≤0，∴m=﹣3；

②当 ，即m＞0时，当sinx=0时， ，

由f（x）min=5得 ，又m＞0，∴ ．

综上所述：m的值为﹣3或 ．

【解析】（1）利用向量共线定理证明 ∥ 即可；（2）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面向量的基本定理及其意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．