Question

20．已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点（6，3）作圆C的切线，求切线方程；
（Ⅲ）设直线l：y=x+m，且直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C₁过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，通过点在圆上，列出方程求解即可．
（Ⅱ）圆C的方程为（x-3）²+（y+2）²=9，当斜率存在时，设切线方程为y-3=k（x-6），则$\frac{|5-3k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，求解切线方程．当斜率不存在时，x=6．推出结果．
（Ⅲ）直线l的方程为y=x+m．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+4y+4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，利用韦达定理以及|OA|²+|OB|²=|AB|²，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}-\frac{D}{2}-E+1=0\\ 4-2E+F=0，10+3D+E+F=0\end{array}$解得D=-6，E=4，F=4，
所以圆C的方程为x²+y²-6x+4y+4=0．…（4分）
（Ⅱ）圆C的方程为（x-3）²+（y+2）²=9，
当斜率存在时，设切线方程为y-3=k（x-6），则$\frac{|5-3k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得$k=\frac{8}{15}$，
所以切线方程为$y-3=\frac{8}{15}（x-6）$，即8x-15y-3=0．…（7分）
当斜率不存在时，x=6．
所以所求的切线方程为8x-15y-3=0或x=6．…（8分）
（Ⅲ）直线l的方程为y=x+m．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+4y+4=0}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，
消去y得2x²+2（m-1）x+m²+4m+4=0，（*）…（9分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=1-m}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m+4}{2}}\end{array}\right.$，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²．
∵AB为直径，∴∠AOB=90°，∴|OA|²+|OB|²=|AB|²，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
得x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，…（11分）
即m²+4m+4+m（1-m）+m²=0，解得m=-1或m=-4．
容易验证m=-1或m=-4时方程（*）有实根．
所以直线l的方程是y=x-1或y=x-4．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．