Question

15．设公比q＞0的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，T_n=n²b_n，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若C_n+1＜C_n，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S₄=5S₂求出q得到通项公式，又$\left\{{\begin{array}{l}{{T_n}={n^2}{b_n}}\\{{T_{n-1}}={{（n-1）}^2}{b_{n-1}}}\end{array}}\right.$，两式作差得$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n+1}$然后求解{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过${S_n}={2^n}-1$化简${C_n}={2^n}（\frac{2}{n+1}-λ）$，利用C_n+1＜C_n，求出实数λ的不等式，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S₄=5S₂即${S_2}+{S_2}{q^2}=5{S_2}$，
∴q²=4，又∵q＞0，∴q=2，
∴${a_n}={2^{n-1}}$…2分
又$\left\{{\begin{array}{l}{{T_n}={n^2}{b_n}}\\{{T_{n-1}}={{（n-1）}^2}{b_{n-1}}}\end{array}}\right.$（n≥2），两式作差得$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n+1}$（n≥2）
得${b_n}=\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}•\frac{{{b_{n-1}}}}{{{b_{n-2}}}}•…•\frac{b_2}{b_1}•{b_1}=\frac{2}{n•（n+1）}$，
当n=1时也满足，故${b_n}=\frac{2}{n•（n+1）}$．                 …4分
（Ⅱ）∵${S_n}={2^n}-1$
∴${C_n}={2^n}（\frac{2}{n+1}-λ）$，…6分
则${C_{n+1}}-{C_n}={2^n}（\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}-λ）＜0$对n∈N*都成立，
即$λ＞\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}$对n∈N*都成立                   …8分
而$\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}=\frac{2n}{（n+1）（n+2）}=\frac{2}{{n+\frac{2}{n}+3}}$
故当n=1或n=2时${（\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}）_{max}}=\frac{1}{3}$，
∴$λ＞\frac{1}{3}$…10分．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列与不等式的关系，函数的最值的求法，考查计算能力．