Question

如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m²，AN的长应在什么范围内？
(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）在(2，)或(8，＋∞)内
（2）AM＝6，AN＝4时，S_min＝24.

解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.
∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，
∴S＝ (y>2)．
由>32，得2<y<，或y>8，
∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．
(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，
当且仅当y－2＝，
即y＝4时，等号成立，解得x＝6.
∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S_min＝24.