Question

如图，PA是⊙O的切线，PE过圆心0，AC为⊙O的直径，PC与⊙O相交于B、C两点，连接AB、CD．
（Ⅰ）求证：∠PAD=∠CDE；
（Ⅱ）求证：

PA2

PC•PE

=

BD

AD

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用圆的切线的性质，结合等腰三角形的性质，即可证明∠PAD=∠CDE；
（Ⅱ）利用△PBD∽△PEC，结合切割线定理即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由PA是圆O的切线，因此∠PAD=∠ACD，…（2分）
在等腰△OCD中，OD=OC，
可得∠ACD=∠CDE，…（4分）
所以∠PAD=∠CDE．…（5分）
（Ⅱ）证明：连接EC
∵△PBD∽△PEC，
∴

PB

PE

=

BD

CE

，…（7分）
由切割线定理可知，PA²=PB•PC，
则PB=

PA2

PC

，…（9分）
又EC=AD，可得：

PA2

PC•PE

=

BD

AD

．…（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，属于中档题．