Question

对任意x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），若f（1）=2，n∈N^*，则f（

1

3n

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由题意可得，f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），利用迭代法求函数的值．

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），
∴f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）
=f（

2

3n

）•f（

1

3n

）=f（

3

3n

）=f（

1

3n-1

），
∴f（

1

3n-1

）=f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），
f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，
f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

）=f⁹（

1

32

）=f33(

1

33

)=…=f3n(

1

3n

)，
∴f3n(

1

3n

)=2，
故f（

1

3n

）=2

1

3n

，
故答案为：2

1

3n

．

点评：本题考查了函数的代入应用，同时考查了迭代法的应用，属于中档题．