Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且a_n+1=1-$\frac{S_n}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{S_n+λ（n+$\frac{1}{2^n}$）}为等差数列，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等比数列的前n项和公式、等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可得S_n=2-2a_n+1，①
当n≥2时，S_n-1=2-2a_n，②…（1 分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n+1，…（3 分）
故$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$（n≥2）．…（4 分）
因为a₁=1，${a_2}=1-\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$，…（5 分）
所以{a_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，故${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．…（6 分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．…（8 分）
由$\{{S_n}+λ（n+\frac{1}{2^n}）\}$为等差数列，
则${S_1}+λ（1+\frac{1}{2}）$，${S_2}+λ（2+\frac{1}{4}）$，${S_3}+λ（3+\frac{1}{8}）$成等差数列．…（10分）
即$2（{S_2}+\frac{9λ}{4}）={S_1}+\frac{3λ}{2}+{S_3}+\frac{25λ}{8}$，
故$2（\frac{3}{2}+\frac{9λ}{4}）=1+\frac{3λ}{2}+\frac{7}{4}+\frac{25λ}{8}$，…（12分）
解得λ=2．…（13分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．