Question

14．若a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{π}$-sinx）dx，则（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶的二项展开式中的常数项为15（用数字作答）．

Answer 1

分析 利用定积分的运算求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶展开式中的常数项．

解答 解：∵a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{π}$-sinx）dx=（$\frac{1}{π}$x+cosx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=1，
∴（x-$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$）⁶=（x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶二项展开式中的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=0，
解得r=4，
∴该二项展开式中的常数项为T₄₊₁=（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了定积分的计算问题，也考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．