Question

5．在锐角△ABC中，BC=1，B=3A，则AC的取值范围是（1，2$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 根据正弦定理和B=3A及三倍角的正弦公式化简得到AC=4cos²2A-1，要求AC的范围，只需找出3-4sin²A，的范围即可，根据锐角△ABC和B=3A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cos2A的范围即可．

解答 解：由正弦定理$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3A}{sinA}$=$\frac{sin（A+2A）}{sinA}$=cos2A+2cos²A=4cos2A-1．
△ABC是锐角三角形，
∴B＜0，即3A＜90°，
因此，A＜30°；
在三角形中两角之和（A+B）＜180°，即4A＜180°，
∴A＜45；
∵C＜90°，
∴A+B＞90°，即4A＞90°，
∴A＞22.5°，
因此，22.5°＜A＜30°，
∴45°＜2A＜60°，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$cos2A＜$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜4cos²2A-1＜2$\sqrt{2}$-1，
∴AC的取值范围为（1，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式及两角和正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=3A变换角得到角的范围．