Question

15．若经过双曲线左焦点的直线与双曲线交于A，B两点，则把线段AB称为该双曲线的左焦点弦，双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1长度为整数且不超过4的左焦点弦的条数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 求得双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1中的a，b，c，可得左焦点F₁（-$\sqrt{5}$，0）．双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：第一类，端点均在左支上，最短的为通径，第二类，端点分别在两支，最短为实轴．由此入手能够求出结果．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1中，a²=4，b²=1，c²=5，
左焦点F₁（-$\sqrt{5}$，0），
双曲线过左焦点的焦点弦可以分为两类：
第一类，端点均在左支上，最短的为通径，
将x=-$\sqrt{5}$代入椭圆方程，得y²=$\frac{5}{4}$-1，可得|y|=$\frac{1}{2}$，
可得通径长为2|y|=1，
由长度为整数且不超过4，
可得符合条件的焦点弦长为1，2，3，4，
根据对称性每个弦长对应2条弦，共2×3+1=7．
第二类，端点分别在两支，最短为实轴，
2a=4，符合题意的弦长：4，
只有1条，
故满足条件的弦共有：1+7=8条．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，具体涉及到双曲线的简单性质，双曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．