Question

4．已知抛物线x²=2py的准线方程为y=-$\frac{1}{4}$，函数f（x）=sinωx的周期为4，则抛物线与函数f（x）在第一象限所围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{6-π}{3π}$
• B． 1
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{4-π}{2π}$

Answer 1

分析 根据抛物线的准线方程求出p的值，再根据三角函数的周期求出ω的值，求出在第一象限的交点坐标，根据定积分即可求出答案．

解答 解：∵抛物线x²=2py的准线方程为y=-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{p}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴y=x²，
∵函数f（x）=sinωx的周期为4，
∴4=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，
要求抛物线与函数f（x）在第一象限的交点坐标，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=sin\frac{ωx}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴抛物线与函数f（x）在第一象限所围成的封闭图形的面积为S=${∫}_{0}^{1}$（sin$\frac{π}{2}$x-x²）dx=（-$\frac{2}{π}$cos$\frac{πx}{2}$-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）=$\frac{6-π}{3π}$，
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的性质和三角函数的周期，以及定积分的计算，属于中档题．