Question

2．已知H是△ABC的垂心，B=60°，若$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$=6，则AC的最小值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得$|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{BD}|$，展开数量积$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$，结合向量在向量方向上的投影得到ac=12．运用余弦定理后再利用基本不等式求最值．

解答 解：如图，∵H是△ABC的垂心，且B=60°，
∴$|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{BD}|$
∴$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$=$|\overrightarrow{BH}||\overrightarrow{BC}|cos∠CBH$
=$|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{BC}|$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}ac=6$，
∴ac=12．
则b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=12，
∴b_min=2$\sqrt{3}$，
即AC的最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是转化思想方法的运用，是中档题．