Question

10．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，动点P，Q分别在棱BC，CC₁上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP=x，CQ=y，其中x，y∈[0，1]，下列命题正确的是②．（写出所有正确命题的编号）
①当x=0时，S为矩形，其面积最大为1；
②当x=y=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
③当x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$时，S为六边形．

Answer 1

分析 根据题意，分别作出满足条件的图形，再根据空间中的线面位置关系找出对应的截面S，即可判断命题是否正确．

解答 解：对于①，当x=0时，截面S为矩形，且面积最大时为矩形ABC₁D₁，
最大面积为1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，如图①所示，

∴①错误；
对于②，当x=y=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形，如图②所示，

∴②正确；
对于③，当x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$时，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，
可得C₁R=$\frac{1}{3}$，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，为五边形，
如图③所示

故③错误；
综上，正确的命题是②．
故答案为：②．

点评 本题以正方体为载体，考查了空间中的线面位置关系的应用问题，也考查了判断命题真假的应用问题，是中档题