Question

1．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{PF}=0$，则$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PF}|}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得F（$\sqrt{5}$，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x-$\sqrt{5}$），
代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x-$\sqrt{5}$），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的a=1，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得F（$\sqrt{5}$，0），渐近线方程为y=±2x，
设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x-$\sqrt{5}$），
代入双曲线的方程，可得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
可得P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
由直线OM：y=-$\frac{1}{2}$x和直线y=2（x-$\sqrt{5}$），可得M（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
即有$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PF}|}}$=$\frac{|\frac{4\sqrt{5}}{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}{|\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和双曲线的方程的运用，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．