Question

15．大学生小李毕业后自主创业，买了一辆小型卡车，运输农产品．在输葡萄收获季节，运输1车葡萄．当天批发完获利润500元，当天未批发或有剩余，一律按每车亏损300元计算．根据以往市场调查，得到葡萄收获季节市场需求量的直方图，如图所示，今年葡萄收获的季节，小李给当地农民定了160车葡萄，以X（单位：车，100≤X≤200）表示今年葡萄收获季节的市场需求量，Y（单位：元）表示今年葡萄销售的利润．
（1）将Y表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润Y不少于64000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100，120），则X=110，且X=110的概率等于需求量落入[100，120）的频率），求Y的数学期望．

Answer 1

分析 （1）当160≤X≤200时，Y=500×160=80000，当100≤X＜160时，Y=500X-（160-X）×300=800X-48000，由此能将将Y表示为X的函数．
（2）由利润Y不少于64000元，得800X-48000≥64000，由此利用频率分布直方图能估计利润Y不少于64000元的概率．
（3）由频率分布直方图能求出Y的数学期望．

解答 解：（1）∵在输葡萄收获季节，运输1车葡萄．当天批发完获利润500元，当天未批发或有剩余，一律按每车亏损300元计算．
小李给当地农民定了160车葡萄，以X（单位：车，100≤X≤200）表示今年葡萄收获季节的市场需求量，
Y（单位：元）表示今年葡萄销售的利润，
∴当160≤X≤200时，Y=500×160=80000，
当100≤X＜160时，
Y=500X-（160-X）×300=800X-48000，
∴Y=$\left\{\begin{array}{l}{80000，160≤X≤200}\\{800X-48000，100≤X＜160}\end{array}\right.$．
（2）∵利润Y不少于64000元，
∴800X-48000≥64000，
∴X≥140．
由频率分布直方图得X≥140的频率为：（0.015+0.0125+0.0075）×20=0.7，
∴根据直方图估计利润Y不少于64000元的概率为0.7．
（3）EY=110×0.005×20+130×0.01×20+150×0.015×20+170×0.0125×20+190×0.0075×20=153．
∴Y的数学期望为153．

点评 本题考查函数表达式的求法，考查概率的求法，考查随时机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．