Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（包括端点），若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$∈[m，n]，则$\frac{n}{m-n}$的值为$-\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 D是边BC上的一点（包括端点），从而可设$\overrightarrow{CD}=λ（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$，且0≤λ≤1，从而$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{AB}$，而$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，从而得到$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{AB}]•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，根据条件进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=2-7λ$，而由λ的范围即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的范围，从而得出m，n的值，进而便可求出$\frac{n}{m-n}$的值．

解答 解：根据题意，设$\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{CB}=λ（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$，0≤λ≤1；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[\overrightarrow{AC}+λ（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）]$$•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$[（1-λ）\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{AB}]•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$（1-λ）{\overrightarrow{AC}}^{2}+（2λ-1）\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}-λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$
=1-λ+1-2λ-4λ
=2-7λ；
∵0≤λ≤1；
∴-5≤2-7λ≤2；
又$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}∈[m，n]$；
∴m=-5，n=2；
∴$\frac{n}{m-n}=-\frac{2}{7}$．
故答案为：$-\frac{2}{7}$．

点评 考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，不等式的性质．