Question

17．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理计算BC，可发现BC²+AC²=AB²，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．

解答 解：在△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{3}$
∴BC²+AC²=AB²，即AC⊥BC．
∴AB为△ABC所在球的截面的直径．
取AB，A₁B₁的中点D，D₁，则棱柱外接球的球心为DD₁的中点O，
设外接球的半径为r，则4πr²=12π，∴r=$\sqrt{3}$．
即OB=$\sqrt{3}$，∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴棱柱的高DD₁=2OD=2$\sqrt{2}$．
∴棱柱的体积V=S_△ABC•DD₁=$\frac{1}{2}×AC×BC×D{D}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直三棱柱与外接球的关系，根据棱柱底面三角形的形状找出球心位置是解题关键．