Question

8．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），且x∈（-1，1]时，$f（x）=-|x|+\frac{1}{2}$，则当x∈（0，7]时，y=f（x）与g（x）=log₄x的图象的交点个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根据函数的关系，求出函数在（0，7]上的解析式，作出函数f（x）与g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=2f（x），且x∈（-1，1]时，$f（x）=-|x|+\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2f（x-2），
若x∈（1，3]，则x-2∈（-1，1]，则f（x）=2f（x-2）=2（-|x-2|+$\frac{1}{2}$）=-2|x-2|+1，
若x∈（3，5]，则x-2∈（1，3]，则f（x）=2f（x-2）=2（-2|x-2-2|+1）=-4|x-4|+2，
若x∈（5，7]，则x-2∈[3，5]，则f（x）=2f（x-2）=2（-4|x-2-4|+2）=-8|x-6|+4，
作出函数f（x）和g（x）在∈（0，7]上的图象如图：
由图象知两个函数共有7个交点，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的作图能力．