Question

4．已知函数f（x）=$\frac{m\sqrt{x}+lnx}{x}$（x＞0），m∈R，若函数f（x）的图象与x轴存在交点，求m的最小值．

Answer 1

分析 若函数f（x）的图象与x轴存在交点等价为m$\sqrt{x}$+lnx=0有解，构造函数h（x）=m$\sqrt{x}$+lnx，求函数的导数，利用导数求出函数的极大值或极小值，进行求解即可．

解答 解：若函数f（x）的图象与x轴存在交点，
则f（x）=0有解，
即m$\sqrt{x}$+lnx=0有解，
设h（x）=m$\sqrt{x}$+lnx，
若m≥0，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，h（x）＜0，当x=1时，h（1）=m+ln1=m≥0，满足条件，
若m＜0，h′（x）=$\frac{m}{2\sqrt{x}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{m\sqrt{x}+2}{2x}$，
由h′（x）＞0得m$\sqrt{x}$+2＞0，即$\sqrt{x}$＜$\frac{-2}{m}$，则0＜x＜$\frac{4}{{m}^{2}}$，
由h′（x）＜0得m$\sqrt{x}$+2＜0，即$\sqrt{x}$＞$\frac{-2}{m}$，则x＞$\frac{4}{{m}^{2}}$，
即当x=$\frac{4}{{m}^{2}}$时，函数h（x）取得极大值，h（$\frac{4}{{m}^{2}}$）=m•$\frac{4}{{m}^{2}}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$，
设g（m）=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=$\frac{4}{m}$+ln4-lnm²=$\frac{4}{m}$+ln4-2ln（-m），
则g′（m）=-$\frac{4}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{-m}$=-（$\frac{4}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{m}$）=-$\frac{4+2m}{{m}^{2}}$，
由g′（m）＞0得-（4+2m）＞0，得2+m＜0，得m＜-2，
由g′（m）＜0得-（4+2m）＜0，得2+m＞0，得-2＜m＜0，
即当m=-2时，g（m）取得极大值，此时g（-2）=$\frac{4}{-2}$+ln$\frac{4}{（-2）^{2}}$=-2+ln1=-2＜0，
即h（$\frac{4}{{m}^{2}}$）=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=-2＜0，此时h（x）与x轴没有交点，
综上m≥0，即m的最小值是0．

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据函数与x轴有交点进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．