Question

14．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．
（1）若△ABC的周长为$\sqrt{2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，求边AB的长；
（2）若a=ccosB，且b=csinA．试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a+b+c=$\sqrt{2}$+1，再由由正弦定理可得a+b=$\sqrt{2}$c，整体解得c值即可；
（2）由a=ccosB和正弦定理以及和差角的三角函数可得C=$\frac{π}{2}$，再由b=csinA和正弦定理可得A=B，可得等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵△ABC的周长a+b+c=$\sqrt{2}$+1，
又∵sinA+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
∴由正弦定理可得a+b=$\sqrt{2}$c，
∴$\sqrt{2}$c+c=$\sqrt{2}$+1，
解得AB=c=1；
（2）∵a=ccosB，且b=csinA，
∴由正弦定理可得sinA=sinCcosB，
∴sin（B+C）=sinCcosB，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，
∴sinBcosC=0，
由三角形内角范围只能cosC=0，C=$\frac{π}{2}$，
再由b=csinA可得sinB=sinCsinA，
∴sinB=sinA，A=B，
∴△ABC为等腰直角三角形．

点评 本题考查三角形形状的判定，涉及正余弦定理以及和差角的三角函数，属中档题．