Question

3．在数列{a_n}中．已知a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列
（2）若对任意n∈N₊，a_n＞m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1），从而可判断{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由（1）知a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，从而可得数列{a_n}是递减数列，且当n→+∞时，a_n→1；从而求得．

解答 证明：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n＞0恒成立；a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
解：（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴数列{a_n}是递减数列，且当n→+∞时，a_n→1；
∴a_n＞1恒成立，
∴m的最大值为1．

点评 本题考查了整体思想与转化思想的应用，同时考查了构造法的应用及等比数列的判断，同时考查了恒成立问题．