Question

18．正项等比数列{a_n}满足a₁=1，a₂a₆+a₃a₅=128，则下列结论正确的是（　　）

• A． ?n∈N^*，a_na_n+1≤a_n+2
• B． ?n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1
• C． ?n∈N^*，S_n＜a_n+1
• D． ?n∈N^*，a_n+a_n+3=a_n+1+a_n+2

Answer 1

分析 根据题意先求出q，求出通项公式，再分别判断即可．

解答 解：设公比为q，正项等比数列{a_n}满足a₁=1，a₂a₆+a₃a₅=128，
∴q⁶+q⁶=128，
∴q⁶=64=2⁶，解得q=2，
∴a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n+2=2ⁿ⁺¹，
若a_na_n+1≤a_n+2，
∴2^2n-1≤2ⁿ⁺¹，
∴2n-1≤n+1，
解得n≤2，故A不正确，
若a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴2^n-1+2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ，
则1+4=2×2，
显然不成立，故B不正确，
∵S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
若S_n＜a_n+1，
∴2ⁿ-1＜2ⁿ，恒成立，故C正确，
∵a_n+3=2ⁿ⁺²，
若a_n+a_n+3=a_n+1+a_n+2，
∴2^n-1+2ⁿ⁺²=2ⁿ+2ⁿ⁺¹，
即1+8=2+4，
显然不成立，故D不正确，
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，属于中档题．