Question

8．已知△ABC中，AC=2，AB=4，AC⊥BC，点P满足$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{AB}$，x+2y=1，则$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值等于（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{28}{9}$
• C． -$\frac{25}{8}$
• D． -$\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根据AC⊥BC便可分别以CB，CA为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并可求出点A，B，C的坐标，可取AB的中点D，从而根据条件有$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+2y\overrightarrow{AD}$，且x+2y=1，这样即可得出点P在直线CD上，可求出直线CD的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，从而可以设$P（x，\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，这样即可求出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可得出$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\frac{8}{3}{x}^{2}-\frac{10\sqrt{3}}{3}x$，配方即可求出该二次函数的最小值．

解答 解：分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；
∵在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC=$2\sqrt{3}$；
∴$A（0，2），B（2\sqrt{3}，0）$，C（0，0）；
取AB的中点D，则$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}$；
∴由$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AB}$得，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AC}+2y\overrightarrow{AD}$；
又x+2y=1；
∴C，P，D三点共线，即点P在直线CD上；
∵$D（\sqrt{3}，1）$；
∴直线CD的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
∴设$P（x，\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，则：$\overrightarrow{PA}=（-x，2-\frac{\sqrt{3}}{3}x）$，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（2\sqrt{3}-x，-\frac{\sqrt{3}}{3}x）+（-x，-\frac{\sqrt{3}}{3}x）$=$（2\sqrt{3}-2x，-\frac{2\sqrt{3}}{3}x）$；
∴$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=$-x（2\sqrt{3}-2x）+\frac{2}{3}{x}^{2}$$-\frac{4\sqrt{3}}{3}x$
=$\frac{8}{3}{x}^{2}-\frac{10\sqrt{3}}{3}x$
=$\frac{8}{3}（x-\frac{5\sqrt{3}}{8}）^{2}-\frac{25}{8}$；
∴$x=\frac{3\sqrt{3}}{8}$时，$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$取最小值$-\frac{25}{8}$．
故选：C．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，中点坐标公式，直线的点斜式方程，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，知道当A，B，C三点共线的充要条件为$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及配方求二次函数最值的方法．