Question

2．已知点F₁与点F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的左、右焦点，点P在直线l：x-$\sqrt{3}$y+8+2$\sqrt{3}$=0上，当∠F₁PF₂取最大值时，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的比值是（　　）

• A． $\sqrt{2}+1$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 先根据双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的方程得出其左右焦点分别为F₁（-2$\sqrt{3}$，0）、与F₂（2$\sqrt{3}$，0），如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$，最后利用相似比即可求出答案．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的左右焦点分别为
F₁（-2$\sqrt{3}$，0）、F₂（2$\sqrt{3}$，0）．
如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l相切，
此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-$\sqrt{3}$y+8+2$\sqrt{3}$=0中，
令y=0得B的坐标：B（-8-2$\sqrt{3}$，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{|BP|}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{A{B}^{2}-P{A}^{2}}}{BO+O{F}_{2}}$=$\frac{\sqrt{4+（8+2\sqrt{3}）^{2}-（4+12）}}{8+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：D．

点评 本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．