Question

18．若数列{a_n}满足a₁=1，且$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=n+1$（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=n+1$（n∈N^*），利用累加法可得a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而利用裂项求和法求和．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=n+1$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=3，
…，
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=n，
累加可得，
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=2+3+4+5+…+n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2+3+4+5+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+2（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的性质与应用，同时考查了累加法与裂项求和法的应用．